如何根据傳递函数推算归一化参数进而設计濾波器

这情景

    之前有小伙伴问怎么设计带增益的滤波器？如果需要的滤波器模型没有查到归一化最近刚好项目需要，想利用单个运放设计一个3dB点50KHz左右的三阶巴特所以就试着自己推导传递函数，再根据截频归一化为1rad/sec的传递函数




之前有小伙伴问怎么設计帶增益的滤波器？如果需要的滤波器模型没有查到归一化参數該怎么设计？等等……其实现在有不少滤波器设计软件，使用起来也很方便，只要輸入濾波器的相关設计参數就可以直接帮你生成電路，能节省不少时间。
最近刚好项目需要，想利用单个运放设计一个3dB點50KHz左右的三階巴特沃斯低通滤波器，要求带内增益x10。之所以要用单个運放设计三阶低通主要是想用盡量小的电路实现较快的衰减，而且还要保证通带内足够平坦，所以就选了巴特沃斯低通滤波器。但是我查了半天也没找到这种濾波电路模型的归一化参數……
所以就试着自己推导傳遞函数，再根據截頻归一化为1rad/sec的传递函数，解算出各个参数的归一化值。這里把推导的过程分享给大家，如果有不正确的地方希望大家批评指正^-^
首先，理想的低通滤波器是无法实现的，我們可以利用下面的传递函数进行逼近：
   



低通滤波器的增益是傳递函数在s=0的值，即G。
当截止频率归一化為1rad/sec时，巴特沃斯低通濾波器传递函数的系数如下：


   
然后，選用三階壓控电压源巴特沃斯低通滤波器电路模型，如下所示：
   
其中：
   
   
因此：
   
   
對比截频归一化后的三阶波特沃斯低通滤波器传递函数：
   
可得：
   
化简以后得到：
   
設计需要G=10，进一步简化為：
   
我采用归一化电容的方法，令C3=1F，以上方程进一步简化为：
   
然后利用數學优化分析综合軟件1stOpt，解算得到（解并不唯一，我选了几組測试均有效）：
C1=0.398253772018256
C2=122.139390763372
R1=0.00845594949236939
R2=0.797269220698334
R3=3.04941810463195
剩余R4和R5的归一化值则根据运放正負端阻抗平衡原则：R1+R2+R3=R4//R5，解算结果如下：
R4=4.283492527580726
R5=38.5514327482265339
接下來就要验证这一组歸一化参数的有效性了！！！！！
实際C3取值为0.01uF，则C1、C2、R1、R2、R3、R4、R5的实际取值为：
   
利用Multisim14.1进行仿真验证，电路圖如下：
   
幅頻响应曲线如下：
   
看起来好像还不錯的样子~~~哈哈哈
希望对小伙伴们能有所帮助！
各位，后会有期！